직육면체 하기 전. 차원에 대해

질문) 개미는 어디에 있는걸까?

1,2,3차원에서 개미는 어디에 있을까? 4차원에서 나는 어디에 있을까?

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차원••• 음, 우리는 3 차원 세계에서 살고 있다고 하는데 어떻게 해서 우리가 살고 있는 세계가 3 차원인지 알고 있는가? 알고 있다면 별 문제 없는데 모르는 사람이 있다면 어떻게 설명을 해야 차원을 쉽게 이해 할 수 있을까? 커다란 종이 위에 점을 하나 찍어 보자. 이 점은 0차원에 해당한다, 아무 것도 없으니까. 이젠 그 점을 지나는 선을 하나 긋고 그 선을 따라 움직이는 개미를 상상해 보자. 우리는 이 개미가 1 차원 세계에 있다고 이야기 하는데 그 이유는 이 개미가 어디에 있더라도 위치는 점을 기준으로 하나의 숫자로 표현 할 수 있기 때문이다. 점으로부터 오른쪽으로 3 만큼 간 경우에는 +3 으로 (A의 경우) 왼쪽을 5 만큼 간 경우에는 -5로 (B의 경우) 표현하면 되는 것이다.

 

그럼 이제 이 선을 벗어나서 종이 위를 움직이는 개미를 생각해 보자 (C와 D의 경우). 이 개미의 위치를 하나의 숫자로 표현 할 수 있는가? C의 경우 점을 기준으로 오른쪽으로 4을 갔지만 선에서 위쪽으로 3 만큼 벗어나 있고 D의 경우에는 왼쪽으로 3 만큼 갔지만 선에서 아래쪽으로 4 만큼 벗어나 있다고 해야 이 개미의 위치를 정확하게 표현할 수 있을 것이다. 이럴 듯 이제는 개미의 위치를 나타내기 위해서는 하나의 숫자가 아닌 두 개의 숫자가 필요하다. 그래서 종이 위의 개미는 2차원 계에 있다라고 한다.

 

2차원을 나타내기 위해서 우리는 데카르트가 천장에 붙어 있는 파리들을 관찰하면서 파리의 위치를 나타내기 위해서 만들어 낸 방법이 직각좌표 계를 주로 이용하는데 이것은 두 개의 수직인 직선을 이용하여 위치를 나타내는 것이다. 위의 그림에서 가로로 그은 선에 수직으로 세로로 하나의 선을 더 그어서 위치를 나타내는 것이다. 이때 가로 선을 x축, 세로 선을 y 축이라고 부르며 오른쪽으로 4, 위쪽으로 3 만큼 간 (C)의 경우 위치를 (4, 3)으로 나타내고 왼쪽으로 3, 아래쪽으로 4 만큼 간 (D)의 경우에는 (-3, -4)로 나타낸다.

 

C 개미의 위치: (4, 3)

D 개미의 위치: (-3, -4)

 

지금까지 1차원과 2 차원에 대해서 알아 봤는데 그럼 우리가 살고 있다고 하는 3 차원은 어떻게 될까? 1 차원에서는 위치를 숫자 하나로 나타낼 수 있고 2 차원에서는 두 개의 숫자로 나타낼 수 있으니까 3 차원에서는 숫자 3 세 개로 위치를 나타낼 수 있지 않겠는가. 3차원을 보고 싶다면 지금 있는 방의 모퉁이를 보면 된다. 그 모퉁이에는 세 개의 모서리가 만나고 있을 것이다. 방바닥의 두 개의 모서리는 2 차원에서와 마찬가지로 x 축, y 축이 되고 두 벽이 만난 모서리는 z축이 되는 것이며 그 방안 에 있는 어떤 물건도 이 3 개의 축으로부터 얼마만큼 떨어져 있는가로 위치를 나타낼 수 있을 것이다. 즉 3 개의 숫자로 위치를 나타낼 수 있는 것이다. 마찬가지로 4 차원은 4 개의 숫자로 n 차원은 n 개의 숫자로 위치를 나타낼 수 있다.

[출처] 차원에 대한 짧은 글|작성자 likeleo